Divergenza (calcolo vettoriale)

La divergenza è un'operazione scalare su un campo vettoriale $\vec{F} = (F_1, F_2, F_3)$ in $\mathbb{R}^3$:

$\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}$

Significato fisico: $(\nabla \cdot \vec{F})(p)$ misura il tasso netto di flusso uscente di $\vec{F}$ per unità di volume nel punto $p$.

• $> 0$: sorgente netta (fluido che si espande, densità di carica positiva).
• $< 0$: pozzo.
• $= 0$: campo incomprimibile (acqua che scorre senza compressione).

Il teorema della divergenza (di Gauss) collega la divergenza su una regione al flusso attraverso la sua frontiera — uno dei quattro grandi teoremi del calcolo vettoriale. È alla base della fluidodinamica, dell'elettromagnetismo (equazioni di Maxwell) e della corrente di probabilità in meccanica quantistica.