Convergenza

La convergenza descrive il caso in cui una successione o una serie si avvicina a un limite finito.

Successione: $\{a_n\}$ converge a $L$ se per ogni $\varepsilon > 0$ esiste un $N$ tale che $|a_n - L| < \varepsilon$ per ogni $n > N$.

Serie: $\sum a_n$ converge se le sue somme parziali $S_n$ convergono.

Criteri standard:

• Criterio del termine n-esimo: $a_n \not\to 0$ → diverge.
• Serie geometrica: $\sum r^n$ converge se e solo se $|r| < 1$.
• Criterio del confronto: limitare con una serie nota.
• Criterio del rapporto: $\lim |a_{n+1}/a_n| < 1$ → converge.
• Criterio dell'integrale: collega $\sum a_n$ a $\int_1^\infty f(x) dx$.
• Criterio delle serie a segni alterni: $\sum (-1)^n b_n$ converge se $b_n \to 0$ in modo monotono.

La convergenza assoluta ($\sum |a_n|$ converge) è più forte della convergenza condizionata. La serie armonica $\sum 1/n$ diverge; $\sum (-1)^n/n$ converge (a segni alterni).