Una funzione $f$ è continua in $x = a$ se valgono tre condizioni:

$f(a)$ è definita,
$\lim_{x \to a} f(x)$ esiste, e
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .

Intuitivamente: si può tracciare il grafico attraverso quel punto senza sollevare la penna. Le discontinuità comuni sono eliminabili (un buco), di salto (il limite sinistro e quello destro differiscono) e infinite (asintoto verticale).

La continuità è il requisito di base della maggior parte dei teoremi dell’analisi. Il teorema dei valori intermedi afferma che le funzioni continue assumono ogni valore compreso tra due qualsiasi delle loro immagini. Il teorema di Weierstrass garantisce che le funzioni continue su un intervallo chiuso raggiungono un massimo e un minimo. La derivabilità richiede la continuità, ma la continuità non implica la derivabilità — $|x|$ è continua ovunque, eppure non è derivabile in $0$ .

Continuità

Una funzione è continua in un punto se il suo valore in quel punto è uguale al limite dei suoi valori quando gli ingressi si avvicinano al punto — senza salti, buchi o asintoti.