Numeri razionali vs irrazionali

Razionale e irrazionale sono le due metà dei numeri reali — ogni reale è esattamente l'uno o l'altro.

Numeri razionali

Un numero reale è razionale se può essere espresso come $\frac{p}{q}$ dove $p, q$ sono interi e $q \neq 0$.

Caratterizzazione decimale: i razionali hanno decimali che o terminano ($0.25 = \frac{1}{4}$) o alla fine si ripetono ($0.\overline{3} = \frac{1}{3}$, $0.1\overline{6} = \frac{1}{6}$).

L'insieme dei razionali è indicato con $\mathbb{Q}$. Pur essendo denso (tra due razionali qualsiasi c'è un altro razionale), i razionali sono numerabili — stessa cardinalità di $\mathbb{N}$.

Numeri irrazionali

Non possono essere espressi come rapporto di interi. I decimali sono non terminanti e non periodici.

Irrazionali famosi:

• $\pi \approx 3.14159...$
• $e \approx 2.71828...$
• $\sqrt{2} \approx 1.41421...$
• $\phi$ (sezione aurea) $= (1 + \sqrt{5})/2$.

L'insieme degli irrazionali è non numerabile — strettamente più grande dei razionali, anche se i razionali sono densi.

Perché è importante

• Il fatto che $\sqrt{2}$ sia irrazionale fu una celebre scoperta pitagorica (la leggenda dice che Ippaso fu annegato per averlo rivelato).
• Che $\pi$ sia irrazionale significa che non lo si può mai scrivere come frazione.
• Il decimale di $1/7 = 0.\overline{142857}$ — il periodo è al più $q - 1$.

Come verificare

Se hai un numero, chiediti:

• Il decimale termina → razionale.
• Il decimale si ripete con un periodo chiaro → razionale.
• Il decimale prosegue senza ripetizione (es. $\pi$, $e$, $\sqrt{2}$) → irrazionale.

I test algebrici usano la chiusura: i razionali sono chiusi rispetto a $+, -, \times, /$ (escluso 0). La somma di due irrazionali può essere razionale (es. $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$).