Proporzionalità diretta vs inversa

La proporzionalità diretta e la proporzionalità inversa sono le due relazioni non banali più semplici tra variabili — e la base per comprendere modelli più complessi.

Proporzionalità diretta: y = kx

Due grandezze sono in proporzionalità diretta se $y = k x$ per una costante non nulla $k$ (la costante di proporzionalità).

• Quando $x$ raddoppia, $y$ raddoppia.
• Quando $x$ si dimezza, $y$ si dimezza.
• Il grafico passa per l'origine con pendenza $k$.

Esempi: distanza vs tempo a velocità costante ($d = v t$), legge di Hooke ($F = k x$), paghe semplici ($\text{paga} = \text{tariffa} \cdot \text{ore}$).

Proporzionalità inversa: y = k/x

Due grandezze sono in proporzionalità inversa se $y = k/x$.

• Quando $x$ raddoppia, $y$ si dimezza.
• Quando $x \to \infty$, $y \to 0$.
• Il grafico è un'iperbole, che non interseca mai gli assi.

Esempi: legge di Boyle (pressione × volume = costante a temperatura costante), tempo per un lavoro fisso ($t = \text{distanza} / v$), varianti della legge di Ohm.

Come capire quale dai dati

Traccia $y$ in funzione di $x$. Se i punti stanno su una retta per l'origine, proporzionalità diretta. Se stanno su un'iperbole che decade a zero, proporzionalità inversa. Oppure verifica se $\frac{y}{x}$ è costante (diretta) vs $xy$ costante (inversa).

Proporzionalità combinata e congiunta

• Proporzionalità congiunta: $y = kxz$ (due variabili dirette).
• Combinata: $y = kx/z$ (una diretta, una inversa). Esempio: forza gravitazionale $F = G m_1 m_2 / r^2$ — diretta nelle masse, inversa al quadrato nella distanza.

Verdetto

Identifica con la domanda "quando una aumenta, l'altra aumenta o diminuisce, e in quale proporzione?" Diretta → si muovono insieme; inversa → direzione opposta con proporzione reciproca.