Volume Formulas

Lato al cubo. Un cubo di lato $s$ si riempie con $s^3$ cubi unitari — versione 3D dell’argomento del quadrato unitario.

Lunghezza × larghezza × altezza. Area di base $l w$; impilando $h$ strati si ottiene $lwh$.

Area di base × altezza. Per il principio di Cavalieri, ogni prisma con stessa sezione e altezza ha stesso volume — triangolare, esagonale, obliquo: una sola formula.

Un terzo del prisma corrispondente. L’"un terzo" viene dall’integrale di $A_{\text{base}}\bigl(\tfrac{z}{h}\bigr)^2$ da 0 a $h$ — la sezione si rimpicciolisce linearmente.

Stessa regola "un terzo" della piramide, base circolare $\pi r^2$. Tre coni uguali riempiono esattamente un cilindro.

Due facce circolari parallele di raggi $R$ (basso) e $r$ (alto), altezza $h$. Si ricava sottraendo il cono piccolo dal grande; il termine $Rr$ viene dalla differenza dei cubi.

Caso particolare del prisma generale: base circolare $\pi r^2$ impilata fino all’altezza $h$. I cilindri obliqui usano la stessa formula grazie a Cavalieri.

Volume del cilindro esterno meno quello interno — lo stesso trucco della corona circolare in 3D.

Il celebre $\tfrac{4}{3}\pi r^3$. Risultato di Archimede: la sfera è esattamente $\tfrac{2}{3}$ del cilindro più piccolo che la contiene.

Metà sfera — esattamente metà di $\tfrac{4}{3}\pi r^3$. Utile per cupole, ciotole e integrali.

Tre semiassi $a, b, c$. Con $a = b = c = r$ si torna alla sfera $\tfrac{4}{3}\pi r^3$: la sfera è un ellissoide speciale.

Raggio maggiore $R$ (centro al centro del tubo), raggio minore $r$ (tubo). Teorema di Pappo: area $\pi r^2$ rotata intorno a un cerchio di circonferenza $2\pi R$.