Decomposizione in fratti semplici: il flusso di lavoro completo

La decomposizione in fratti semplici è l'abilità algebrica che ti permette di integrare qualsiasi funzione razionale del pianeta. Invece di combattere contro un'unica frazione orribile, la spezzi in pezzi facili da integrare termine a termine. Questa guida illustra ogni caso che incontrerai.

L'impostazione

Una funzione razionale è $\frac{P(x)}{Q(x)}$ dove $P, Q$ sono polinomi. I fratti semplici funzionano solo quando il grado di $P$ < grado di $Q$. In caso contrario, esegui prima la divisione lunga tra polinomi per togliere la parte polinomiale.

Dopo aver diviso, fattorizza completamente $Q(x)$ sui reali. Ogni fattore rientra in una di quattro categorie.

I quattro casi

Caso 1: fattori lineari distinti

Se $Q(x) = (x - a)(x - b)$, scrivi:

$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$

Esempio. Decomponi $\frac{5x - 1}{(x - 1)(x + 2)}$.

Moltiplica tutto: $5x - 1 = A(x + 2) + B(x - 1)$.

Sostituisci $x = 1$: $4 = 3A \Rightarrow A = 4/3$.
Sostituisci $x = -2$: $-11 = -3B \Rightarrow B = 11/3$.

Quindi $\frac{5x-1}{(x-1)(x+2)} = \frac{4/3}{x-1} + \frac{11/3}{x+2}$.

Caso 2: fattore lineare ripetuto

Per $(x - a)^k$, ti serve un termine per ogni potenza fino a $k$:

$\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x-a)^k}$

Caso 3: fattore quadratico irriducibile

Per ogni $x^2 + bx + c$ irriducibile, usa un numeratore con due incognite:

$\frac{Bx + C}{x^2 + bx + c}$

Caso 4: quadratico irriducibile ripetuto

Stessa idea del caso 2, ma ogni potenza prende una forma $Bx + C$.

Applicazione all'integrazione

Una volta decomposto, integra termine a termine:

• $\int \frac{1}{x - a} dx = \ln|x - a| + C$
• $\int \frac{1}{(x - a)^k} dx = \frac{-1}{(k-1)(x-a)^{k-1}} + C$ per $k > 1$
• $\int \frac{Bx + C}{x^2 + bx + c} dx$ si divide in una parte $\ln$ e una parte $\arctan$.

Errori comuni

• Dimenticare di fare prima la divisione lunga quando il grado di $P$ ≥ grado di $Q$.
• Saltare i termini ripetuti — $(x - 1)^3$ richiede tre frazioni separate.
• Tentare di fattorizzare quadratici irriducibili — controlla il discriminante prima di forzare radici reali.

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Riferimenti correlati:

• Calcolatrice di fattorizzazione — per scomporre $Q(x)$
• Calcolatrice di polinomi — per l'impostazione della divisione lunga
• Calcolatrice di limiti — usata in alcuni trucchi di verifica della decomposizione