Moltiplicazione di matrici: una guida passo passo con esempi svolti

La moltiplicazione di matrici è l'operazione che guida l'algebra lineare, la computer grafica, il machine learning e le simulazioni di fisica. Eppure la maggior parte degli studenti la impara come una ricetta meccanica e non vede mai perché è definita così. Questa guida ti dà sia la ricetta sia l'intuizione.

Prima la regola sulle dimensioni

Prima di calcolare qualsiasi cosa, controlla le dimensioni. Per moltiplicare $A \cdot B$:

• $A$ deve avere forma $m \times n$
• $B$ deve avere forma $n \times p$
• Il risultato $AB$ ha forma $m \times p$

Le dimensioni interne devono coincidere ($n = n$); le dimensioni esterne diventano la forma del risultato.

Se provi a moltiplicare una $3 \times 4$ per una $5 \times 2$, l'operazione non è definita — nessun calcolo potrà salvarti.

La ricetta riga per colonna

L'elemento $(i, j)$ di $AB$ è il prodotto scalare della riga $i$ di $A$ con la colonna $j$ di $B$:

$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}$

Esempio svolto

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

Calcola $AB$:

• $(AB)_{11} = 1\cdot 5 + 2\cdot 7 = 19$
• $(AB)_{12} = 1\cdot 6 + 2\cdot 8 = 22$
• $(AB)_{21} = 3\cdot 5 + 4\cdot 7 = 43$
• $(AB)_{22} = 3\cdot 6 + 4\cdot 8 = 50$

Quindi $AB = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$.

Perché la moltiplicazione è definita così?

Le matrici rappresentano applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Se $A$ va da $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^m$, e $B$ va da $\mathbb{R}^p$ a $\mathbb{R}^n$, allora $AB$ dovrebbe essere la composizione di quelle applicazioni. La regola riga per colonna è esattamente ciò che produce la composizione. La ricetta non è arbitraria — discende dal requisito che $AB$ codifichi "applica prima $B$, poi $A$".

Proprietà (e non-proprietà!)

Proprietà	Vale?
$A(BC) = (AB)C$ associativa	Sì
$A(B + C) = AB + AC$ distributiva	Sì
$AB = BA$ commutativa	No, in generale
$AB = 0 \Rightarrow A = 0$ o $B = 0$	No

La non commutatività è il più grande aggiustamento mentale rispetto all'aritmetica scalare.

Errori comuni

• Sommare invece di moltiplicare i prodotti riga-colonna (devi fare entrambi — moltiplicare a coppie e poi sommare).
• Invertire l'ordine del controllo delle dimensioni — deve essere $(m \times n)(n \times p)$, non $(n \times m)(n \times p)$.
• Assumere la commutatività — $AB$ potrebbe non essere nemmeno definito se lo è $BA$.

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Riferimenti correlati:

• Calcolatrice di determinante — si abbina naturalmente ai prodotti $2\times 2$
• Calcolatrice di inversa — usa $AB = I$ come relazione definitoria
• Calcolatrice di vettori — il prodotto scalare è alla base di ogni elemento