Jumlah Riemann

Sebuah jumlah Riemann menghampiri luas di bawah kurva $y = f(x)$ pada $[a, b]$ dengan membagi selang menjadi $n$ subselang berlebar $\Delta x = (b-a)/n$ dan menjumlahkan luas $n$ persegi panjang:

$S_n = \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \, \Delta x$

dengan $x_i^*$ adalah titik sampel pada subselang ke-$i$. Pilihan yang umum:

• Jumlah Riemann kiri: $x_i^* = a + (i-1)\Delta x$.
• Jumlah Riemann kanan: $x_i^* = a + i \Delta x$.
• Aturan titik tengah: titik tengah subselang (lebih akurat).

Ketika $n \to \infty$ (persegi panjang menjadi sangat tipis), jika $f$ terintegralkan, jumlah Riemann konvergen ke integral tentu:

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n.$

Definisi integral ini mengaitkan penjumlahan diskret dengan luas kontinu, sekaligus menjelaskan notasi integral $\int$ sebagai "S yang diregangkan" untuk penjumlahan (sum). Jumlah Riemann juga mendasari semua integrasi numerik (aturan trapesium, aturan Simpson).