Teorema Nilai Rata-Rata

Teorema Nilai Rata-Rata (MVT) adalah hasil fundamental dalam kalkulus. Jika $f$ kontinu pada $[a, b]$ dan terdiferensialkan pada $(a, b)$, maka terdapat paling sedikit satu titik $c \in (a, b)$ sedemikian sehingga

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$

Secara geometris: garis singgung di $c$ sejajar dengan garis potong (sekan) yang melalui $(a, f(a))$ dan $(b, f(b))$.

Intuisi (analogi mengemudi): jika Anda menempuh 60 mil dalam 1 jam, kecepatan rata-rata Anda adalah 60 mph; MVT menjamin bahwa pada suatu saat kecepatan sesaat Anda tepat 60 mph.

MVT adalah penggerak di balik:

• Uji naik/turun ($f' > 0 \implies$ naik).
• Bukti Teorema Dasar Kalkulus.
• Batas galat pada metode numerik (teorema Taylor dengan suku sisa).
• Teorema ketunggalan untuk persamaan diferensial.

Kasus khusus ($f(a) = f(b)$) adalah teorema Rolle: terdapat suatu $c$ dengan $f'(c) = 0$.