AI Math
Buka Aplikasi
calculus

Integral takwajar

Integral takwajar memiliki batas tak hingga atau integran yang tak terbatas di suatu titik pada selang. Dievaluasi sebagai limit dari integral wajar.

Sebuah integral takwajar memiliki paling sedikit salah satu ciri berikut:

  1. Batas tak hingga: ∫a∞f(x) dx\int_a^\infty f(x) \, dx atau ∫−∞∞f(x) dx\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx.
  2. Integran tak terbatas di suatu titik pada [a,b][a, b] (asimtot tegak).

Keduanya dievaluasi sebagai limit dari integral wajar:

∫a∞f(x) dx=lim⁡b→∞∫abf(x) dx\int_a^\infty f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx

Jika limitnya berhingga, integral konvergen; jika tidak, divergen.

Contoh terkenal:

  • ∫1∞1x2dx=1\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx = 1 ✓
  • ∫1∞1xdx=∞\int_1^\infty \frac{1}{x} dx = \infty ✗ (peluruhan yang lebih lambat divergen)
  • ∫−∞∞e−x2dx=π\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} — integral Gauss.

Uji kekonvergenan (uji perbandingan, uji-p) menentukan apakah integrasi memang layak dilakukan. Integral takwajar muncul dalam probabilitas (normalisasi fungsi kepadatan peluang), transformasi Fourier, dan fisika.