Diferensiasi Implisit

Diferensiasi implisit mencari $\frac{dy}{dx}$ ketika $y$ didefinisikan secara implisit oleh suatu persamaan, tanpa terlebih dahulu menyelesaikan $y$ secara eksplisit. Cara ini sangat berguna ketika menyelesaikan $y$ sulit atau tidak mungkin.

Prosedur: turunkan kedua ruas persamaan terhadap $x$, dengan memperlakukan $y$ sebagai fungsi dari $x$ (sehingga setiap suku $y$ memperoleh faktor $\frac{dy}{dx}$ melalui aturan rantai), lalu selesaikan untuk $\frac{dy}{dx}$.

Contoh: untuk $x^2 + y^2 = 25$ (sebuah lingkaran):

1. Turunkan kedua ruas: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$.
2. Selesaikan: $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.

Ini memberikan kemiringan di sembarang titik pada lingkaran tanpa perlu $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$.

Diferensiasi implisit adalah alat standar untuk:

• Garis singgung pada kurva yang bukan grafik fungsi.
• Soal laju terkait (air mengisi kerucut, tangga melorot di dinding).
• Menurunkan fungsi invers (penurunan $\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ menggunakannya).
• Menyelesaikan persamaan diferensial dan kurva berproperti konstan (kurva ketinggian).