Bilangan Rasional vs Irasional

Rasional dan irasional adalah dua paruh bilangan real — setiap bilangan real persis salah satunya.

Bilangan rasional

Suatu bilangan real adalah rasional jika dapat dinyatakan sebagai $\frac{p}{q}$ di mana $p, q$ bilangan bulat dan $q \neq 0$.

Karakterisasi desimal: bilangan rasional memiliki desimal yang berhenti ($0.25 = \frac{1}{4}$) atau pada akhirnya berulang ($0.\overline{3} = \frac{1}{3}$, $0.1\overline{6} = \frac{1}{6}$).

Himpunan bilangan rasional dilambangkan $\mathbb{Q}$. Meski rapat (di antara dua rasional mana pun ada rasional lain), bilangan rasional terbilang — kardinalitas sama dengan $\mathbb{N}$.

Bilangan irasional

Tidak dapat dinyatakan sebagai rasio bilangan bulat. Desimalnya tidak berhenti dan tidak berulang.

Irasional terkenal:

• $\pi \approx 3.14159...$
• $e \approx 2.71828...$
• $\sqrt{2} \approx 1.41421...$
• $\phi$ (rasio emas) $= (1 + \sqrt{5})/2$.

Himpunan bilangan irasional tak terbilang — benar-benar lebih besar daripada rasional, meski rasional rapat.

Mengapa ini penting

• Bahwa $\sqrt{2}$ irasional adalah penemuan Pythagoras terkenal (legenda: Hippasus ditenggelamkan karena mengungkapkannya).
• Bahwa $\pi$ irasional berarti Anda tidak pernah bisa menuliskannya sebagai pecahan.
• Desimal dari $1/7 = 0.\overline{142857}$ — panjang periode pengulangan paling banyak $q - 1$.

Cara menguji

Jika Anda punya sebuah bilangan, tanyakan:

• Desimal berhenti → rasional.
• Desimal berulang dengan periode jelas → rasional.
• Desimal berlanjut tanpa pengulangan (mis. $\pi$, $e$, $\sqrt{2}$) → irasional.

Uji aljabar menggunakan ketertutupan: rasional tertutup terhadap $+, -, \times, /$ (kecuali 0). Jumlah dua irasional bisa rasional (mis. $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$).