Dekomposisi Pecahan Parsial: Alur Kerja Lengkap

Dekomposisi pecahan parsial adalah keterampilan aljabar yang memungkinkan Anda mengintegralkan fungsi rasional apa pun di muka bumi. Alih-alih bergulat dengan satu pecahan yang buruk rupa, Anda memecahnya menjadi bagian-bagian yang mudah diintegralkan suku demi suku. Panduan ini menelusuri setiap kasus yang akan Anda temui.

Penyiapan

Sebuah fungsi rasional adalah $\frac{P(x)}{Q(x)}$ dengan $P, Q$ adalah polinomial. Pecahan parsial hanya berfungsi ketika derajat $P$ < derajat $Q$. Jika tidak, lakukan pembagian polinomial bersusun terlebih dahulu untuk mengupas bagian polinomialnya.

Setelah membagi, faktorkan $Q(x)$ sepenuhnya atas bilangan real. Setiap faktor masuk ke salah satu dari empat kategori.

Empat kasus

Kasus 1: faktor linear berbeda

Jika $Q(x) = (x - a)(x - b)$, tuliskan:

$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$

Contoh. Uraikan $\frac{5x - 1}{(x - 1)(x + 2)}$.

Kalikan seluruhnya: $5x - 1 = A(x + 2) + B(x - 1)$.

Substitusikan $x = 1$: $4 = 3A \Rightarrow A = 4/3$.
Substitusikan $x = -2$: $-11 = -3B \Rightarrow B = 11/3$.

Jadi $\frac{5x-1}{(x-1)(x+2)} = \frac{4/3}{x-1} + \frac{11/3}{x+2}$.

Kasus 2: faktor linear berulang

Untuk $(x - a)^k$, Anda memerlukan satu suku per pangkat hingga $k$:

$\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x-a)^k}$

Kasus 3: faktor kuadrat tak tereduksi

Untuk setiap $x^2 + bx + c$ yang tak tereduksi, gunakan pembilang dengan dua bilangan tak diketahui:

$\frac{Bx + C}{x^2 + bx + c}$

Kasus 4: kuadrat tak tereduksi yang berulang

Ide yang sama seperti kasus 2, tetapi setiap pangkat mendapat bentuk $Bx + C$.

Penerapan integrasi

Setelah diuraikan, integralkan suku demi suku:

• $\int \frac{1}{x - a} dx = \ln|x - a| + C$
• $\int \frac{1}{(x - a)^k} dx = \frac{-1}{(k-1)(x-a)^{k-1}} + C$ untuk $k > 1$
• $\int \frac{Bx + C}{x^2 + bx + c} dx$ terpecah menjadi bagian $\ln$ dan bagian $\arctan$.

Kesalahan umum

• Lupa melakukan pembagian bersusun terlebih dahulu ketika derajat $P$ ≥ derajat $Q$.
• Melewatkan suku berulang — $(x - 1)^3$ memerlukan tiga pecahan terpisah.
• Mencoba memfaktorkan kuadrat tak tereduksi — periksa diskriminan sebelum memaksakan akar real.

Coba dengan AI Integral Solver

Integral Solver secara otomatis melakukan dekomposisi pecahan parsial saat diperlukan dan menampilkan setiap langkahnya.

Referensi terkait:

• Kalkulator Faktor — untuk memecah $Q(x)$
• Kalkulator Polinomial — untuk penyiapan pembagian bersusun
• Kalkulator Limit — digunakan dalam beberapa trik verifikasi PFD