Perkalian Matriks: Panduan Langkah demi Langkah dengan Contoh Terselesaikan

Perkalian matriks adalah operasi yang menggerakkan aljabar linear, grafika komputer, pembelajaran mesin, dan simulasi fisika. Namun sebagian besar siswa mempelajarinya sebagai resep mekanis dan tidak pernah melihat mengapa ia didefinisikan seperti itu. Panduan ini memberi Anda resepnya dan intuisinya.

Aturan dimensi lebih dahulu

Sebelum menghitung apa pun, periksa dimensi. Untuk mengalikan $A \cdot B$:

• $A$ harus berukuran $m \times n$
• $B$ harus berukuran $n \times p$
• Hasil $AB$ berukuran $m \times p$

Dimensi dalam harus cocok ($n = n$); dimensi luar menjadi ukuran hasilnya.

Jika Anda mencoba mengalikan matriks $3 \times 4$ dengan $5 \times 2$, operasinya tak terdefinisi — tidak ada aritmetika yang bisa menyelamatkan Anda.

Resep baris-kali-kolom

Elemen $(i, j)$ dari $AB$ adalah hasil kali titik baris $i$ dari $A$ dengan kolom $j$ dari $B$:

$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}$

Contoh terselesaikan

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

Hitung $AB$:

• $(AB)_{11} = 1\cdot 5 + 2\cdot 7 = 19$
• $(AB)_{12} = 1\cdot 6 + 2\cdot 8 = 22$
• $(AB)_{21} = 3\cdot 5 + 4\cdot 7 = 43$
• $(AB)_{22} = 3\cdot 6 + 4\cdot 8 = 50$

Jadi $AB = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$.

Mengapa perkalian didefinisikan seperti ini?

Matriks merepresentasikan pemetaan linear antar ruang vektor. Jika $A$ memetakan dari $\mathbb{R}^n$ ke $\mathbb{R}^m$, dan $B$ memetakan dari $\mathbb{R}^p$ ke $\mathbb{R}^n$, maka $AB$ seharusnya menjadi komposisi dari pemetaan-pemetaan itu. Aturan baris-kali-kolom adalah persis yang menghasilkan komposisi. Resep ini tidak sembarangan — ia muncul dari syarat bahwa $AB$ menyandikan "terapkan $B$ dulu, lalu terapkan $A$".

Sifat-sifat (dan bukan-sifat!)

Sifat	Berlaku?
$A(BC) = (AB)C$ asosiatif	Ya
$A(B + C) = AB + AC$ distributif	Ya
$AB = BA$ komutatif	Tidak, secara umum
$AB = 0 \Rightarrow A = 0$ atau $B = 0$	Tidak

Sifat tidak komutatif adalah penyesuaian mental terbesar dibandingkan aritmetika skalar.

Kesalahan umum

• Menjumlahkan alih-alih mengalikan hasil kali baris-kolom (Anda melakukan keduanya — kalikan berpasangan lalu jumlahkan).
• Membalik urutan pemeriksaan dimensi — harus $(m \times n)(n \times p)$, bukan $(n \times m)(n \times p)$.
• Mengasumsikan sifat komutatif — $AB$ bahkan mungkin tak terdefinisi padahal $BA$ terdefinisi.

Coba dengan AI Matrix Solver

Ketik sepasang matriks apa pun ke dalam Kalkulator Matriks untuk melihat pengerjaan baris demi baris secara lengkap.

Referensi terkait:

• Kalkulator Determinan — berpasangan secara alami dengan hasil kali $2\times 2$
• Kalkulator Invers — menggunakan $AB = I$ sebagai relasi pendefinisi
• Kalkulator Vektor — hasil kali titik mendasari setiap elemen