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geometry

Vecteur

Un vecteur est une grandeur ayant à la fois une norme et une direction. Notation : ⟨x, y⟩ ou ⟨x, y, z⟩. Les vecteurs s'additionnent composante par composante et sont à la base de la physique, de l'infographie et de l'apprentissage automatique.

Un vecteur possède à la fois une norme et une direction, contrairement à un scalaire qui n'a qu'une norme.

Coordonnées : v⃗=⟨x,y⟩\vec{v} = \langle x, y \rangle (2D) ou ⟨x,y,z⟩\langle x, y, z \rangle (3D). Norme ∣v⃗∣=x2+y2+⋯|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + \cdots}.

Opérations :

  • Addition / soustraction : composante par composante.
  • Multiplication par un scalaire : met à l'échelle la norme.
  • Produit scalaire : u⃗⋅v⃗=∑uivi=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \sum u_i v_i = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta — mesure l'alignement et donne un scalaire.
  • Produit vectoriel (3D uniquement) : u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} — perpendiculaire aux deux, de norme ∣u⃗∣∣v⃗∣sin⁡θ|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta.

Les vecteurs décrivent la physique (force, vitesse), l'infographie (positions, normales), l'apprentissage automatique (vecteurs de caractéristiques, gradients, plongements) et la géométrie. Leur généralisation à des dimensions supérieures et à des espaces abstraits (espaces de Hilbert) est le fondement d'une grande partie des mathématiques modernes.