Loi de Student

La loi de Student est une loi de probabilité continue qui ressemble à la loi normale — en cloche, symétrique — mais avec des queues plus épaisses. Elle dépend d'un paramètre appelé degrés de liberté (ddl).

Quand l'utiliser : inférence sur une moyenne de population lorsque (1) l'écart-type de la population $\sigma$ est inconnu (estimé à partir de l'échantillon par $s$), ET (2) la taille d'échantillon $n$ est petite.

La statistique t : $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$ suit une loi de Student à $n - 1$ degrés de liberté.

Propriétés : lorsque $df \to \infty$, la loi de Student converge vers la loi normale centrée réduite $N(0, 1)$. Pour $df < 30$, les queues épaisses élargissent sensiblement les intervalles de confiance — on « paie » le fait de ne pas connaître $\sigma$.

Histoire : développée par William Gosset à la brasserie Guinness (il publiait sous le pseudonyme « Student » parce que Guinness interdisait les publications de ses employés). Elle est à la base des tests t (un échantillon, deux échantillons, apparié) et des intervalles de confiance pour des moyennes à variance inconnue.