Somme de Riemann

Une somme de Riemann approche l'aire sous une courbe $y = f(x)$ sur $[a, b]$ en découpant l'intervalle en $n$ sous-intervalles de largeur $\Delta x = (b-a)/n$ et en sommant les aires de $n$ rectangles :

$S_n = \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \, \Delta x$

où $x_i^*$ est un point d'échantillonnage dans le $i$-ième sous-intervalle. Choix courants :

• Somme de Riemann à gauche : $x_i^* = a + (i-1)\Delta x$.
• Somme de Riemann à droite : $x_i^* = a + i \Delta x$.
• Règle du point milieu : milieu du sous-intervalle (plus précise).

Lorsque $n \to \infty$ (les rectangles deviennent arbitrairement minces), si $f$ est intégrable, la somme de Riemann converge vers l'intégrale définie :

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n.$

Cette définition de l'intégrale relie la sommation discrète à l'aire continue, ce qui motive la notation intégrale $\int$ comme un « S allongé » désignant la somme. Les sommes de Riemann sont aussi à la base de toute intégration numérique (règle des trapèzes, règle de Simpson).