Dérivée partielle

Pour une fonction de plusieurs variables $f(x, y, z, \ldots)$, la dérivée partielle par rapport à $x$ est

$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h, y, \ldots) - f(x, y, \ldots)}{h},$

en traitant toutes les autres variables comme des constantes. Notation : $\partial$ (le « d » arrondi, lu « del ») la distingue des dérivées totales.

Exemple : $f(x, y) = x^2 y + 3y$. Alors $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ (en traitant $y$ comme constante) et $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3$.

Les dérivées partielles sont les briques de base du calcul à plusieurs variables. Le gradient $\nabla f = (\partial f/\partial x, \partial f/\partial y, \ldots)$ pointe dans la direction de la plus forte pente — le fondement de la descente de gradient en apprentissage automatique. Les équations aux dérivées partielles modélisent la chaleur, les ondes, les fluides, l'électromagnétisme et la mécanique quantique.