Optimisation (analyse)

L'optimisation est la pratique consistant à trouver les valeurs maximales ou minimales d'une fonction. Procédure standard :

1. Poser la fonction $f(x)$ à maximiser/minimiser à partir de l'énoncé.
2. Dériver pour obtenir $f'(x)$.
3. Trouver les points critiques : résoudre $f'(x) = 0$ (et repérer où $f'$ n'existe pas).
4. Classer chacun : test de la dérivée seconde ($f''(c) > 0$ → minimum ; $< 0$ → maximum), ou changement de signe de la dérivée première.
5. Comparer avec les bornes si le domaine est un intervalle fermé (théorème des bornes atteintes).

Problèmes classiques : le plus grand rectangle inscrit dans un cercle, la boîte cylindrique la moins coûteuse contenant un volume fixé, la boîte de volume maximal obtenue à partir d'une feuille carrée.

L'optimisation à plusieurs variables utilise le gradient ($\nabla f = \vec{0}$) et la matrice hessienne. L'optimisation sous contraintes utilise les multiplicateurs de Lagrange. Cette technique est à la base de la conception en ingénierie, de l'économie et de l'entraînement des modèles d'apprentissage automatique.