Loi normale

La loi normale (ou gaussienne) est l'emblématique loi de probabilité continue en forme de cloche. Sa densité :

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

est entièrement déterminée par deux paramètres : la moyenne $\mu$ (position) et l'écart-type $\sigma$ (dispersion).

Propriétés clés :

• Symétrique autour de $\mu$.
• Règle 68-95-99,7 : $\approx 68\%$ des valeurs à moins de $1\sigma$, $95\%$ à moins de $2\sigma$, $99{,}7\%$ à moins de $3\sigma$.
• La loi normale centrée réduite $N(0, 1)$ est la référence canonique ; toute loi normale peut être standardisée via $z = (x - \mu)/\sigma$.

La loi normale apparaît partout grâce au théorème central limite : la somme de nombreuses variables aléatoires indépendantes tend vers la loi normale quelles que soient leurs distributions individuelles. Cela en fait le modèle par défaut pour les erreurs de mesure, le QI, la taille, les notes d'examen, ainsi que le fondement des intervalles de confiance, des tests d'hypothèses et des processus gaussiens.