Théorème des accroissements finis

Le théorème des accroissements finis (TAF) est un résultat fondamental du calcul différentiel. Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $(a, b)$, il existe au moins un point $c \in (a, b)$ tel que

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$

Géométriquement : la tangente en $c$ est parallèle à la sécante passant par $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$.

Intuition (analogie de la conduite) : si vous parcourez 60 miles en 1 heure, votre vitesse moyenne est de 60 mph ; le TAF garantit qu'à un certain instant votre vitesse instantanée valait exactement 60 mph.

Le TAF est le moteur qui sous-tend :

• le test de croissance/décroissance ($f' > 0 \implies$ croissante) ;
• la démonstration du théorème fondamental de l'analyse ;
• les bornes d'erreur dans les méthodes numériques (théorème de Taylor avec reste) ;
• les théorèmes d'unicité pour les équations différentielles.

Un cas particulier ($f(a) = f(b)$) est le théorème de Rolle : il existe un $c$ où $f'(c) = 0$.