Limite

De manière informelle, $\lim_{x \to a} f(x) = L$ signifie : lorsque $x$ devient arbitrairement proche de $a$ (de chaque côté), $f(x)$ devient arbitrairement proche de $L$. La fonction n’a pas besoin d’être définie en $a$, et même si elle l’est, la valeur $f(a)$ n’a pas à être égale à $L$.

La définition formelle $\varepsilon$-$\delta$ exige : pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\delta > 0$ tel que $|x - a| < \delta$ implique $|f(x) - L| < \varepsilon$.

Les limites rendent précise la notion de « s’approcher sans atteindre » — le moteur derrière les dérivées ($h \to 0$) et les intégrales (sommes de Riemann avec un pas $\to 0$). De nombreux modèles physiques et économiques reposent implicitement sur le raisonnement par limites.