Loi des sinus

La loi des sinus est valable pour tout triangle (pas seulement les triangles rectangles) :

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

où $a, b, c$ sont les longueurs des côtés opposés aux angles $A, B, C$, et $R$ est le rayon du cercle circonscrit.

Cas d'usage :

1. AAS ou ASA : connaissant deux angles et un côté, trouver les autres côtés.
2. SSA (cas ambigu) : connaissant deux côtés et un angle non compris. Peut donner zéro, un ou deux triangles valides — toujours vérifier.

La loi des cosinus $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ est le théorème compagnon pour les cas SSS et SAS. Ensemble, elles résolvent entièrement n'importe quel triangle : à partir de trois informations indépendantes quelconques, on peut trouver les six (3 côtés + 3 angles).

Démonstration : abaissez une hauteur depuis un sommet ; elle a pour longueur $b \sin A$ mesurée d'une manière et $a \sin B$ mesurée de l'autre. En égalant, on obtient $a/\sin A = b/\sin B$.