Loi des cosinus

La loi des cosinus généralise le théorème de Pythagore à un triangle quelconque :

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

où $c$ est le côté opposé à l'angle $C$, et $a, b$ sont les deux autres côtés. Par symétrie : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$, $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$.

Cas particulier : lorsque $C = 90°$, $\cos 90° = 0$, et la formule se ramène à $c^2 = a^2 + b^2$ — le théorème de Pythagore.

Cas d'usage :

• CCC : trois côtés connus, trouver un angle : $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
• CAC : deux côtés et l'angle compris connus, trouver directement le troisième côté.

Complément de la loi des sinus $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$. Ensemble, elles traitent les quatre cas de résolution de triangles (CCC, CAC, ACA, AAC) — seul le CCA (le cas ambigu) demande une attention particulière.

La loi des cosinus est aussi l'origine géométrique du produit scalaire en analyse vectorielle : $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$.