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trigonometry

Loi des cosinus

La loi des cosinus généralise le théorème de Pythagore à un triangle quelconque : c² = a² + b² − 2ab cos(C). À utiliser pour les problèmes de triangle CCC ou CAC.

La loi des cosinus généralise le théorème de Pythagore à un triangle quelconque :

c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

où cc est le côté opposé à l'angle CC, et a,ba, b sont les deux autres côtés. Par symétrie : a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A, b2=a2+c2−2accos⁡Bb^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B.

Cas particulier : lorsque C=90°C = 90°, cos⁡90°=0\cos 90° = 0, et la formule se ramène à c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2 — le théorème de Pythagore.

Cas d'usage :

  • CCC : trois côtés connus, trouver un angle : cos⁡C=a2+b2−c22ab\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}.
  • CAC : deux côtés et l'angle compris connus, trouver directement le troisième côté.

Complément de la loi des sinus asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}. Ensemble, elles traitent les quatre cas de résolution de triangles (CCC, CAC, ACA, AAC) — seul le CCA (le cas ambigu) demande une attention particulière.

La loi des cosinus est aussi l'origine géométrique du produit scalaire en analyse vectorielle : u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta.