Règle de L'Hôpital

La règle de L'Hôpital énonce que si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ présente la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$, alors

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

à condition que la limite du membre de droite existe (ou vaille $\pm\infty$).

La règle ne s'applique qu'à ces deux formes indéterminées. Les autres indéterminations ($0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$) doivent d'abord être réécrites sous la forme $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$.

Il peut être nécessaire d'appliquer la règle plusieurs fois si la nouvelle limite est encore indéterminée. Elle simplifie souvent de façon spectaculaire des limites autrement difficiles, comme $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$.