Une intégrale impropre possède au moins l'une des caractéristiques suivantes :

Borne infinie : $\int_a^\infty f(x) \, dx$ ou $\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx$ .
Intégrande non borné quelque part sur $[a, b]$ (asymptote verticale).

Les deux cas s'évaluent comme des limites d'intégrales propres :

$\int_a^\infty f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx$

Si la limite est finie, l'intégrale converge ; sinon, elle diverge.

Exemples célèbres :

$\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx = 1$ ✓
$\int_1^\infty \frac{1}{x} dx = \infty$ ✗ (une décroissance plus lente diverge)
$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$ — intégrale de Gauss.

Les critères de convergence (comparaison, critère de Riemann en $p$ ) permettent de décider s'il vaut la peine d'intégrer. Les intégrales impropres apparaissent en probabilités (normalisation de la densité), dans les transformées de Fourier et en physique.

Intégrale impropre

Une intégrale impropre a soit une borne infinie, soit un intégrande non borné quelque part sur l'intervalle. On l'évalue comme une limite d'intégrales propres.