La dérivation implicite trouve $\frac{dy}{dx}$ lorsque $y$ est défini implicitement par une équation, sans isoler $y$ explicitement au préalable. Elle est particulièrement utile lorsque isoler $y$ est difficile ou impossible.

Procédure : dériver les deux membres de l'équation par rapport à $x$ , en traitant $y$ comme une fonction de $x$ (de sorte que chaque terme en $y$ reçoit un $\frac{dy}{dx}$ via la règle de dérivation des fonctions composées), puis résoudre en $\frac{dy}{dx}$ .

Exemple : pour $x^2 + y^2 = 25$ (un cercle) :

On dérive les deux membres : $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ .
On résout : $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ .

Cela donne la pente en tout point du cercle sans avoir besoin de $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$ .

La dérivation implicite est l'outil standard pour :

les tangentes à des courbes qui ne sont pas des graphes de fonctions ;
les problèmes de taux liés (eau remplissant un cône, échelle glissant le long d'un mur) ;
dériver des fonctions réciproques (la déduction de $\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ l'utilise) ;
résoudre des équations différentielles et des courbes à propriété constante (courbes de niveau).

Dérivation implicite

La dérivation implicite trouve dy/dx lorsque y est défini implicitement par une équation (comme x²+y²=25), sans isoler y au préalable.