Domaine de définition et image

Le domaine de définition d'une fonction $f$ est l'ensemble de toutes les valeurs d'entrée $x$ pour lesquelles $f(x)$ est définie. L'image est l'ensemble de toutes les valeurs de sortie que $f$ produit effectivement.

Restrictions de domaine courantes :

• Division : $f(x) = 1/x$ exclut $x = 0$.
• Racines d'indice pair : $f(x) = \sqrt{x}$ exige $x \geq 0$ dans les réels.
• Logarithmes : $\ln(x)$ exige $x > 0$.

Déterminer l'image est souvent plus difficile que le domaine — il faut analyser le comportement de la fonction. Pour les polynômes, l'analyse (dérivées, étude asymptotique) aide à déterminer l'image ; pour les fonctions trigonométriques, on exploite la périodicité et l'amplitude bornée (par exemple, $\sin x$ a pour image $[-1, 1]$).

En programmation, « domaine » / « image » deviennent des signatures de type ; en apprentissage automatique, ils décrivent l'espace des entrées et l'espace des sorties d'un modèle.