Divergence (analyse vectorielle)

La divergence est une opération scalaire sur un champ vectoriel $\vec{F} = (F_1, F_2, F_3)$ dans $\mathbb{R}^3$ :

$\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}$

Signification physique : $(\nabla \cdot \vec{F})(p)$ mesure le taux net de flux sortant de $\vec{F}$ par unité de volume au point $p$.

• $> 0$ : source nette (fluide qui se répand, densité de charge positive).
• $< 0$ : puits.
• $= 0$ : champ incompressible (eau s'écoulant sans compression).

Le théorème de la divergence (de Gauss) relie la divergence sur une région au flux à travers sa frontière — l'un des quatre grands théorèmes de l'analyse vectorielle. Il est à la base de la dynamique des fluides, de l'électromagnétisme (équations de Maxwell) et du courant de probabilité en mécanique quantique.