AI Math
Ouvrir l'app
calculus

Rotationnel (analyse vectorielle)

Le rotationnel d'un champ vectoriel mesure la rotation locale. ∇×F donne un vecteur dirigé selon l'axe de rotation, de norme proportionnelle à la vitesse de rotation.

Le rotationnel de F⃗\vec{F} dans R3\mathbb{R}^3 est lui-même un champ vectoriel, calculé par un produit vectoriel formel :

∇×F⃗=(∂F3∂y−∂F2∂z, ∂F1∂z−∂F3∂x, ∂F2∂x−∂F1∂y).\nabla \times \vec{F} = \left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z},\ \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x},\ \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right).

La norme mesure le taux de rotation local ; la direction est l'axe de rotation (règle de la main droite).

Un champ tel que ∇×F⃗=0⃗\nabla \times \vec{F} = \vec{0} est dit irrotationnel — les champs de gradient (conservatifs) sont toujours irrotationnels. Un rotationnel non nul indique une circulation locale.

Le théorème de Stokes identifie l'intégrale de surface du rotationnel à l'intégrale curviligne de F⃗\vec{F} le long de la frontière. Utilisé en électromagnétisme (loi de Maxwell-Faraday), en dynamique des fluides (vorticité) et en aérodynamique.