Convergence

La convergence décrit le cas où une suite ou une série se rapproche d'une limite finie.

Suite : $\{a_n\}$ converge vers $L$ si pour tout $\varepsilon > 0$ il existe un $N$ tel que $|a_n - L| < \varepsilon$ pour tout $n > N$.

Série : $\sum a_n$ converge si ses sommes partielles $S_n$ convergent.

Critères standards :

• Critère du terme général : $a_n \not\to 0$ → diverge.
• Série géométrique : $\sum r^n$ converge si et seulement si $|r| < 1$.
• Critère de comparaison : majorer par une série connue.
• Critère de d'Alembert (du rapport) : $\lim |a_{n+1}/a_n| < 1$ → converge.
• Critère intégral : relie $\sum a_n$ à $\int_1^\infty f(x) dx$.
• Critère des séries alternées : $\sum (-1)^n b_n$ converge si $b_n \to 0$ de façon monotone.

La convergence absolue ($\sum |a_n|$ converge) est plus forte que la convergence conditionnelle. La série harmonique $\sum 1/n$ diverge ; $\sum (-1)^n/n$ converge (alternée).