Une fonction $f$ est continue en $x = a$ si trois conditions sont vérifiées :

$f(a)$ est définie,
$\lim_{x \to a} f(x)$ existe, et
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .

Intuitivement : on peut tracer le graphe à travers ce point sans lever le crayon. Les discontinuités courantes sont éliminables (un trou), par saut (les limites à gauche et à droite diffèrent) et infinies (asymptote verticale).

La continuité est la condition d’entrée de la plupart des théorèmes de l’analyse. Le théorème des valeurs intermédiaires affirme que les fonctions continues prennent toute valeur comprise entre deux images quelconques. Le théorème des bornes atteintes garantit que les fonctions continues sur un intervalle fermé atteignent un maximum et un minimum. La dérivabilité exige la continuité, mais la continuité n’implique pas la dérivabilité — $|x|$ est continue partout mais n’est pas dérivable en $0$ .

Continuité

Une fonction est continue en un point si sa valeur en ce point est égale à la limite de ses valeurs lorsque les entrées s’en approchent — sans sauts, trous ni asymptotes.