Nombres rationnels vs irrationnels

Rationnel et irrationnel sont les deux moitiés des nombres réels — tout réel est exactement l'un ou l'autre.

Nombres rationnels

Un nombre réel est rationnel s'il peut s'exprimer sous la forme $\frac{p}{q}$ où $p, q$ sont des entiers et $q \neq 0$.

Caractérisation décimale : les rationnels ont un développement décimal qui soit est fini ($0.25 = \frac{1}{4}$), soit devient finalement périodique ($0.\overline{3} = \frac{1}{3}$, $0.1\overline{6} = \frac{1}{6}$).

L'ensemble des rationnels est noté $\mathbb{Q}$. Bien qu'il soit dense (entre deux rationnels il y a toujours un autre rationnel), les rationnels sont dénombrables — même cardinal que $\mathbb{N}$.

Nombres irrationnels

Ne peuvent pas s'exprimer comme un rapport d'entiers. Le développement décimal est infini et non périodique.

Irrationnels célèbres :

• $\pi \approx 3.14159...$
• $e \approx 2.71828...$
• $\sqrt{2} \approx 1.41421...$
• $\phi$ (nombre d'or) $= (1 + \sqrt{5})/2$.

L'ensemble des irrationnels est non dénombrable — strictement plus grand que les rationnels, même si les rationnels sont denses.

Pourquoi c'est important

• Le fait que $\sqrt{2}$ soit irrationnel fut une célèbre découverte pythagoricienne (la légende dit qu'Hippase fut noyé pour l'avoir révélée).
• Que $\pi$ soit irrationnel signifie qu'on ne peut jamais l'écrire comme une fraction.
• Le développement de $1/7 = 0.\overline{142857}$ — la période est au plus $q - 1$.

Comment tester

Si vous avez un nombre, demandez :

• Le décimal est fini → rationnel.
• Le décimal se répète avec une période claire → rationnel.
• Le décimal se poursuit sans répétition (p. ex. $\pi$, $e$, $\sqrt{2}$) → irrationnel.

Les tests algébriques utilisent la clôture : les rationnels sont clos pour $+, -, \times, /$ (sauf 0). La somme de deux irrationnels peut être rationnelle (p. ex. $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$).