Variation directe vs inverse

La variation directe et la variation inverse sont les deux relations non triviales les plus simples entre variables — et le fondement pour comprendre des modèles plus complexes.

Variation directe : y = kx

Deux grandeurs sont en variation directe si $y = k x$ pour une constante non nulle $k$ (la constante de proportionnalité).

• Quand $x$ double, $y$ double.
• Quand $x$ est divisé par deux, $y$ est divisé par deux.
• Le graphe passe par l'origine avec une pente $k$.

Exemples : distance vs temps à vitesse constante ($d = v t$), loi de Hooke ($F = k x$), salaires simples ($\text{paie} = \text{taux} \cdot \text{heures}$).

Variation inverse : y = k/x

Deux grandeurs sont en variation inverse si $y = k/x$.

• Quand $x$ double, $y$ est divisé par deux.
• Quand $x \to \infty$, $y \to 0$.
• Le graphe est une hyperbole, qui ne croise jamais les axes.

Exemples : loi de Boyle (pression × volume = constante à température constante), temps pour un travail fixe ($t = \text{distance} / v$), variantes de la loi d'Ohm.

Comment savoir laquelle à partir des données

Tracez $y$ en fonction de $x$. Si les points sont sur une droite passant par l'origine, variation directe. S'ils sont sur une hyperbole décroissant vers zéro, variation inverse. Ou vérifiez si $\frac{y}{x}$ est constant (directe) vs $xy$ constant (inverse).

Variation combinée et conjointe

• Variation conjointe : $y = kxz$ (deux variables directes).
• Combinée : $y = kx/z$ (une directe, une inverse). Exemple : force gravitationnelle $F = G m_1 m_2 / r^2$ — directe dans les masses, inverse au carré dans la distance.

Verdict

Identifiez avec la question « quand l'une augmente, l'autre augmente-t-elle ou diminue-t-elle, et dans quelle proportion ? » Directe → les deux bougent ensemble ; inverse → sens opposé avec proportion réciproque.