Prismes et boîtes

Cube

$V = s^3$

Côté au cube. Un cube de côté $s$ se remplit avec $s^3$ cubes unités — version 3D de l’argument du carré unité.

Parallélépipède rectangle

$V = l \cdot w \cdot h$

Longueur × largeur × hauteur. Aire de base $l w$ ; empiler $h$ couches donne $lwh$ .

Prisme général

$V = A_{\text{base}} \cdot h$

Aire de la base × hauteur. Par le principe de Cavalieri, tout prisme de même section et hauteur a le même volume — triangulaire, hexagonal, oblique : une seule formule.

Pyramides, cônes et troncs

Pyramide (générale)

$V = \tfrac{1}{3} A_{\text{base}} \cdot h$

Un tiers du prisme correspondant. Le "un tiers" provient de l’intégrale de $A_{\text{base}}\bigl(\tfrac{z}{h}\bigr)^2$ de 0 à $h$ — la section décroît linéairement.

Cône

$V = \tfrac{1}{3} \pi r^2 h$

Même règle "un tiers" que la pyramide, base circulaire $\pi r^2$ . Trois cônes égaux remplissent exactement un cylindre.

Tronc de cône

$V = \tfrac{\pi h}{3}\bigl(R^2 + R r + r^2\bigr)$

Deux disques parallèles de rayons $R$ (bas) et $r$ (haut), hauteur $h$ . Se déduit en soustrayant le petit cône du grand ; le terme $Rr$ vient de la différence des cubes.

Cylindres

Cylindre

$V = \pi r^2 h$

Cas particulier du prisme général : base circulaire $\pi r^2$ empilée jusqu’à la hauteur $h$ . Les cylindres obliques utilisent la même formule grâce à Cavalieri.

Cylindre creux (tube)

$V = \pi (R^2 - r^2) h$

Volume du cylindre extérieur moins celui du cylindre intérieur — astuce de soustraction de la couronne, transposée en 3D.

Sphères et ellipsoïdes

Sphère

$V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$

Le célèbre $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ . Résultat d’Archimède : une sphère vaut exactement $\tfrac{2}{3}$ du plus petit cylindre qui la contient.

Hémisphère

$V = \tfrac{2}{3}\pi r^3$

Moitié de sphère — exactement la moitié de $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ . Utile pour dômes, bols et calculs intégraux.

Ellipsoïde

$V = \tfrac{4}{3}\pi a b c$

Trois demi-axes $a, b, c$ . Avec $a = b = c = r$ on retrouve la sphère $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ : la sphère est un ellipsoïde particulier.

Tore (beignet)

$V = 2\pi^2 R r^2$

Grand rayon $R$ (centre à l’axe du tube), petit rayon $r$ (tube). Théorème de Pappus : aire $\pi r^2$ balayée autour d’un cercle de périmètre $2\pi R$ .

Volume Formulas