Multiplication de matrices : un guide pas à pas avec des exemples résolus

La multiplication de matrices est l'opération qui anime l'algèbre linéaire, l'infographie, l'apprentissage automatique et les simulations physiques. Pourtant, la plupart des étudiants l'apprennent comme une recette mécanique et ne voient jamais pourquoi elle est définie ainsi. Ce guide vous donne à la fois la recette et l'intuition.

La règle des dimensions d'abord

Avant de calculer quoi que ce soit, vérifiez les dimensions. Pour multiplier $A \cdot B$ :

• $A$ doit avoir la forme $m \times n$
• $B$ doit avoir la forme $n \times p$
• Le résultat $AB$ a la forme $m \times p$

Les dimensions internes doivent correspondre ($n = n$) ; les dimensions externes deviennent la forme du résultat.

Si vous tentez de multiplier une matrice $3 \times 4$ par une $5 \times 2$, l'opération n'est pas définie — aucune arithmétique ne vous sauvera.

La recette ligne fois colonne

L'entrée $(i, j)$ de $AB$ est le produit scalaire de la ligne $i$ de $A$ avec la colonne $j$ de $B$ :

$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}$

Exemple résolu

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

Calculez $AB$ :

• $(AB)_{11} = 1\cdot 5 + 2\cdot 7 = 19$
• $(AB)_{12} = 1\cdot 6 + 2\cdot 8 = 22$
• $(AB)_{21} = 3\cdot 5 + 4\cdot 7 = 43$
• $(AB)_{22} = 3\cdot 6 + 4\cdot 8 = 50$

Donc $AB = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$.

Pourquoi la multiplication est-elle définie ainsi ?

Les matrices représentent des applications linéaires entre espaces vectoriels. Si $A$ va de $\mathbb{R}^n$ vers $\mathbb{R}^m$, et $B$ va de $\mathbb{R}^p$ vers $\mathbb{R}^n$, alors $AB$ doit être la composée de ces applications. La règle ligne fois colonne est précisément ce qui produit la composition. La recette n'est pas arbitraire — elle découle de l'exigence que $AB$ encode « appliquer d'abord $B$, puis appliquer $A$ ».

Propriétés (et non-propriétés !)

Propriété	Vraie ?
$A(BC) = (AB)C$ associativité	Oui
$A(B + C) = AB + AC$ distributivité	Oui
$AB = BA$ commutativité	Non, en général
$AB = 0 \Rightarrow A = 0$ ou $B = 0$	Non

La non-commutativité est le plus grand ajustement mental par rapport à l'arithmétique scalaire.

Erreurs fréquentes

• Additionner au lieu de multiplier les produits ligne-colonne (vous faites les deux — multipliez deux à deux puis sommez).
• Inverser l'ordre de la vérification des dimensions — ce doit être $(m \times n)(n \times p)$, et non $(n \times m)(n \times p)$.
• Supposer la commutativité — $AB$ peut même ne pas être défini là où $BA$ l'est.

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Références connexes :

• Calculatrice de déterminant — se marie naturellement avec les produits $2\times 2$
• Calculatrice d'inverse — utilise $AB = I$ comme relation de définition
• Calculatrice de vecteurs — le produit scalaire sous-tend chaque entrée