Simplificar la función booleana F = A′B′C′D′ + A′B′CD′ + A′BC′D + A′BCD′ + AB′C′D′ + AB′C′D + ABC′D′ + ABCD a una forma de suma de productos mínima.

Step-by-step solution

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   Convertir la expresión en una lista de minterminos. Leyendo cada producto como un patrón $ABCD$ de $4$ bits (un literal negado vale $0$):

   $A'B'C'D' = m_0, \ A'B'CD' = m_2, \ A'BC'D = m_5, \ A'BCD' = m_6$

   $AB'C'D' = m_8, \ AB'C'D = m_9, \ ABC'D' = m_{12}, \ ABCD = m_{15}$

   de modo que

   $F = \Sigma m(0, 2, 5, 6, 8, 9, 12, 15)$

   El costo de partida es de $8$ términos y $32$ literales.

2. 2

   Enumerar los implicantes primos. Combinando minterminos adyacentes (los que difieren en exactamente un bit) y conservando solo los grupos maximales se obtienen siete implicantes primos:

   $A'B'D'\,(0,2), \quad A'CD'\,(2,6), \quad B'C'D'\,(0,8), \quad AC'D'\,(8,12)$

   $AB'C'\,(8,9), \quad A'BC'D\,(5), \quad ABCD\,(15)$

   Todos los grupos tienen apenas dos celdas — no hay ningún bloque de $4$ celdas en ninguna parte, porque ningún conjunto de cuatro de estos minterminos forma un cuadrado en el mapa de Karnaugh.

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   Identificar los términos esenciales. El mintermino $m_5$ solo queda cubierto por $A'BC'D$ y $m_{15}$ solo por $ABCD$, así que esos dos minterminos completos son esenciales y deben aparecer. De la misma manera, $m_6$ aparece únicamente en $A'CD'$, $m_9$ únicamente en $AB'C'$ y $m_{12}$ únicamente en $AC'D'$ — tres implicantes primos esenciales más.

4. 4

   Cubrir lo que queda. Los cinco términos esenciales $A'BC'D$, $ABCD$, $A'CD'$, $AB'C'$ y $AC'D'$ cubren en conjunto $\{2,5,6,8,9,12,15\}$, y dejan fuera solo a $m_0$. Este se puede recoger con $A'B'D'$ o con $B'C'D'$, ambos de tamaño dos, así que hay exactamente dos cubrimientos mínimos de igual costo.

5. 5

   Escribir la SOP mínima. Eligiendo $A'B'D'$:

   $F = A'B'D' + A'CD' + A'BC'D + AB'C' + AC'D' + ABCD$

   La alternativa, igual de mínima, reemplaza $A'B'D'$ por $B'C'D'$. En cualquiera de los dos casos el costo es de $6$ términos y $20$ literales, frente a los $8$ términos y $32$ literales iniciales.

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   Verificar contra la tabla de verdad completa. Evaluar la expresión minimizada en las $16$ combinaciones de entrada reproduce un $1$ exactamente en $\{0,2,5,6,8,9,12,15\}$ y un $0$ en el resto. La razón de que la reducción sea modesta es estructural: minterminos como $m_5$ ($0101$) y $m_{15}$ ($1111$) no tienen ningún vecino dentro del conjunto, así que sobreviven como productos completos de cuatro literales sin importar cómo se agrupe el mapa.