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geometry

Vector

Un vector es una magnitud con módulo y dirección. Notación: ⟨x, y⟩ o ⟨x, y, z⟩. Los vectores se suman componente a componente y sustentan la física, los gráficos y el aprendizaje automático.

Un vector tiene módulo y dirección, a diferencia de un escalar, que solo tiene módulo.

Coordenadas: v⃗=⟨x,y⟩\vec{v} = \langle x, y \rangle (2D) o ⟨x,y,z⟩\langle x, y, z \rangle (3D). Módulo ∣v⃗∣=x2+y2+⋯|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + \cdots}.

Operaciones:

  • Suma / resta: componente a componente.
  • Multiplicación por un escalar: escala el módulo.
  • Producto escalar: u⃗⋅v⃗=∑uivi=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \sum u_i v_i = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta: mide la alineación y da un escalar.
  • Producto vectorial (solo en 3D): u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v}: perpendicular a ambos, con módulo ∣u⃗∣∣v⃗∣sin⁡θ|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta.

Los vectores describen la física (fuerza, velocidad), los gráficos (posiciones, normales), el aprendizaje automático (vectores de características, gradientes, embeddings) y la geometría. Su generalización a dimensiones superiores y espacios abstractos (espacios de Hilbert) es la base de gran parte de la matemática moderna.