Suma de Riemann

Una suma de Riemann aproxima el área bajo una curva $y = f(x)$ en $[a, b]$ dividiendo el intervalo en $n$ subintervalos de ancho $\Delta x = (b-a)/n$ y sumando las áreas de $n$ rectángulos:

$S_n = \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \, \Delta x$

donde $x_i^*$ es un punto de muestreo en el $i$-ésimo subintervalo. Elecciones comunes:

• Suma de Riemann por la izquierda: $x_i^* = a + (i-1)\Delta x$.
• Suma de Riemann por la derecha: $x_i^* = a + i \Delta x$.
• Regla del punto medio: punto medio del subintervalo (más precisa).

Cuando $n \to \infty$ (los rectángulos se hacen arbitrariamente delgados), si $f$ es integrable, la suma de Riemann converge a la integral definida:

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n.$

Esta definición de la integral conecta la suma discreta con el área continua, lo que motiva la notación integral $\int$ como una "S estirada" de suma. Las sumas de Riemann también son la base de toda integración numérica (regla del trapecio, regla de Simpson).