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calculus

Derivada parcial

Una derivada parcial mide cómo cambia una función de varias variables cuando solo cambia una variable, manteniendo constantes las demás. Notación: ∂f/∂x.

Para una función de varias variables f(x,y,z,…)f(x, y, z, \ldots), la derivada parcial respecto a xx es

∂f∂x=lim⁡h→0f(x+h,y,…)−f(x,y,…)h,\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h, y, \ldots) - f(x, y, \ldots)}{h},

tratando todas las demás variables como constantes. Notación: ∂\partial (la "d" redondeada, leída "del") la distingue de las derivadas totales.

Ejemplo: f(x,y)=x2y+3yf(x, y) = x^2 y + 3y. Entonces ∂f∂x=2xy\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy (tratando yy como constante) y ∂f∂y=x2+3\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3.

Las derivadas parciales son los bloques de construcción del cálculo multivariable. El gradiente ∇f=(∂f/∂x,∂f/∂y,…)\nabla f = (\partial f/\partial x, \partial f/\partial y, \ldots) apunta en la dirección de máximo crecimiento: el fundamento del descenso de gradiente en el aprendizaje automático. Las ecuaciones en derivadas parciales modelan el calor, las ondas, los fluidos, el electromagnetismo y la mecánica cuántica.