La optimización es la práctica de hallar los valores máximos o mínimos de una función. Procedimiento estándar:

Plantea la función $f(x)$ que se quiere maximizar/minimizar a partir del enunciado.
Deriva para obtener $f'(x)$ .
Halla los puntos críticos: resuelve $f'(x) = 0$ (e identifica dónde $f'$ no existe).
Clasifica cada uno: criterio de la segunda derivada ( $f''(c) > 0$ → mínimo; $< 0$ → máximo), o cambio de signo de la primera derivada.
Compara con los extremos si el dominio es un intervalo cerrado (teorema del valor extremo).

Problemas clásicos: el mayor rectángulo inscrito en una circunferencia, la lata cilíndrica más barata con un volumen fijo, la caja de volumen máximo a partir de una hoja cuadrada.

La optimización multivariable usa el gradiente ( $\nabla f = \vec{0}$ ) y la matriz hessiana. La optimización con restricciones usa multiplicadores de Lagrange. La técnica está en la base del diseño en ingeniería, la economía y el entrenamiento de modelos de aprendizaje automático.

Optimización (cálculo)

La optimización en cálculo consiste en hallar los valores máximos o mínimos de una función. Se iguala f'(x) = 0 para hallar los puntos críticos y luego se determina si son máximos o mínimos.