Distribución normal

La distribución normal (o gaussiana) es la icónica distribución de probabilidad continua en forma de campana. Su densidad:

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

queda completamente determinada por dos parámetros: la media $\mu$ (ubicación) y la desviación estándar $\sigma$ (dispersión).

Propiedades clave:

• Simétrica respecto a $\mu$.
• Regla 68-95-99.7: $\approx 68\%$ de los valores dentro de $1\sigma$, $95\%$ dentro de $2\sigma$, $99.7\%$ dentro de $3\sigma$.
• La normal estándar $N(0, 1)$ es la referencia canónica; cualquier normal puede estandarizarse mediante $z = (x - \mu)/\sigma$.

La normal aparece en todas partes debido al Teorema Central del Límite: la suma de muchas variables aleatorias independientes tiende a la normal sin importar sus distribuciones individuales. Esto la convierte en el modelo por defecto para errores de medición, CI, estatura y puntuaciones de exámenes, y en el fundamento de los intervalos de confianza, las pruebas de hipótesis y los procesos gaussianos.