Teorema del valor medio

El teorema del valor medio (TVM) es un resultado fundamental del cálculo. Si $f$ es continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$, existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$

Geométricamente: la recta tangente en $c$ es paralela a la recta secante que pasa por $(a, f(a))$ y $(b, f(b))$.

Intuición (analogía al conducir): si recorres 60 millas en 1 hora, tu velocidad promedio es 60 mph; el TVM garantiza que en algún instante tu velocidad instantánea fue exactamente 60 mph.

El TVM es el motor que sustenta:

• El criterio de crecimiento/decrecimiento ($f' > 0 \implies$ creciente).
• La demostración del teorema fundamental del cálculo.
• Las cotas de error en métodos numéricos (teorema de Taylor con resto).
• Los teoremas de unicidad para ecuaciones diferenciales.

Un caso especial ($f(a) = f(b)$) es el teorema de Rolle: existe un $c$ donde $f'(c) = 0$.