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trigonometry

Ley de los senos

La ley de los senos relaciona los lados de cualquier triángulo con los senos de los ángulos opuestos: a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C).

La ley de los senos se cumple para cualquier triángulo (no solo para los rectángulos):

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

donde a,b,ca, b, c son las longitudes de los lados opuestos a los ángulos A,B,CA, B, C, y RR es el radio de la circunferencia circunscrita.

Casos de uso:

  1. AAL o ALA: dados dos ángulos y un lado, hallar los otros lados.
  2. LLA (caso ambiguo): dados dos lados y un ángulo no comprendido. Puede dar cero, uno o dos triángulos válidos — comprueba siempre.

La ley de los cosenos c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C es el teorema complementario para los casos LLL y LAL. Juntas resuelven completamente cualquier triángulo: dados tres datos independientes cualesquiera, puedes hallar los seis (3 lados + 3 ángulos).

Demostración: traza una altura desde un vértice; tiene longitud bsin⁡Ab \sin A medida de una forma y asin⁡Ba \sin B medida de la otra. Iguala para obtener a/sin⁡A=b/sin⁡Ba/\sin A = b/\sin B.