Teorema del coseno

El teorema del coseno generaliza el teorema de Pitágoras a cualquier triángulo:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

donde $c$ es el lado opuesto al ángulo $C$, y $a, b$ son los otros dos lados. De forma simétrica: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$, $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$.

Caso especial: cuando $C = 90°$, $\cos 90° = 0$, y la fórmula se reduce a $c^2 = a^2 + b^2$ — el teorema de Pitágoras.

Casos de uso:

• LLL: dados los tres lados, hallar un ángulo: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
• LAL: dados dos lados y el ángulo comprendido, hallar el tercer lado directamente.

Es el complemento del teorema del seno $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$. Juntos resuelven los cuatro casos de resolución de triángulos (LLL, LAL, ALA, AAL) — solo el LLA (el caso ambiguo) requiere cuidado adicional.

El teorema del coseno es también el origen geométrico del producto escalar en el análisis vectorial: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$.