Una integral impropia tiene al menos una de estas características:

Límite infinito: $\int_a^\infty f(x) \, dx$ o $\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx$ .
Integrando no acotado en algún punto de $[a, b]$ (asíntota vertical).

Ambas se evalúan como límites de integrales propias:

$\int_a^\infty f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx$

Si es finito, converge; en caso contrario, diverge.

Ejemplos famosos:

$\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx = 1$ ✓
$\int_1^\infty \frac{1}{x} dx = \infty$ ✗ (un decaimiento más lento diverge)
$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$ — integral gaussiana.

Los criterios de convergencia (comparación, criterio p) deciden si vale la pena integrar. Las integrales impropias aparecen en probabilidad (normalización de la FDP), transformadas de Fourier y física.

Integral impropia

Una integral impropia tiene un límite infinito o un integrando no acotado en algún punto del intervalo. Se evalúa como un límite de integrales propias.