Derivación implícita

La derivación implícita halla $\frac{dy}{dx}$ cuando $y$ está definida implícitamente por una ecuación, sin despejar $y$ explícitamente primero. Resulta especialmente útil cuando despejar $y$ es difícil o imposible.

Procedimiento: derivar ambos lados de la ecuación respecto a $x$, tratando $y$ como una función de $x$ (de modo que cada término en $y$ obtiene un $\frac{dy}{dx}$ por la regla de la cadena), y luego despejar $\frac{dy}{dx}$.

Ejemplo: para $x^2 + y^2 = 25$ (una circunferencia):

1. Derivamos ambos lados: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$.
2. Despejamos: $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.

Esto da la pendiente en cualquier punto de la circunferencia sin necesidad de $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$.

La derivación implícita es la herramienta estándar para:

• Rectas tangentes a curvas que no son gráficas de funciones.
• Problemas de razones de cambio relacionadas (agua llenando un cono, una escalera deslizándose por una pared).
• Derivar funciones inversas (la deducción de $\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ la utiliza).
• Resolver ecuaciones diferenciales y curvas de propiedad constante (curvas de nivel).