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calculus

Rotacional (cálculo vectorial)

El rotacional de un campo vectorial mide la rotación local. ∇×F da un vector que apunta a lo largo del eje de rotación con magnitud proporcional a la velocidad de giro.

El rotacional de F⃗\vec{F} en R3\mathbb{R}^3 es a su vez un campo vectorial, calculado mediante un producto vectorial formal:

∇×F⃗=(∂F3∂y−∂F2∂z, ∂F1∂z−∂F3∂x, ∂F2∂x−∂F1∂y).\nabla \times \vec{F} = \left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z},\ \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x},\ \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right).

La magnitud mide la tasa de rotación local; la dirección es el eje de rotación (regla de la mano derecha).

Un campo con ∇×F⃗=0⃗\nabla \times \vec{F} = \vec{0} es irrotacional — los campos gradiente (conservativos) son siempre irrotacionales. Un rotacional no nulo indica circulación local.

El teorema de Stokes iguala la integral de superficie del rotacional con la integral de línea de F⃗\vec{F} alrededor de la frontera. Se usa en electromagnetismo (ley de Maxwell-Faraday), dinámica de fluidos (vorticidad) y aerodinámica.