Convergencia

La convergencia describe cuándo una sucesión o serie se aproxima a un límite finito.

Sucesión: $\{a_n\}$ converge a $L$ si para todo $\varepsilon > 0$ existe un $N$ tal que $|a_n - L| < \varepsilon$ para todo $n > N$.

Serie: $\sum a_n$ converge si sus sumas parciales $S_n$ convergen.

Criterios estándar:

• Criterio del término n-ésimo: $a_n \not\to 0$ → diverge.
• Serie geométrica: $\sum r^n$ converge si y solo si $|r| < 1$.
• Criterio de comparación: acotar con una serie conocida.
• Criterio del cociente: $\lim |a_{n+1}/a_n| < 1$ → converge.
• Criterio de la integral: relaciona $\sum a_n$ con $\int_1^\infty f(x) dx$.
• Criterio de la serie alternada: $\sum (-1)^n b_n$ converge si $b_n \to 0$ de forma monótona.

La convergencia absoluta ($\sum |a_n|$ converge) es más fuerte que la convergencia condicional. La serie armónica $\sum 1/n$ diverge; $\sum (-1)^n/n$ converge (alternada).